Das hört sich gerade irgendwie an wie ein Kofferraumverkauf polnischer Hunde :?.
Lass den Hund am besten gestern beim TA durchchecken, auch auf Mittelmeerkrankheiten, und lass ein Blutbild machen, schaden kann es nicht, sollte der Hund weiß Gott woher kommen. Dann würde ich den Tollwuttiter bestimmen lassen, dann weißt du, ob der Hund überhaupt geimpft wurde. Das wirst du aber höchstwahrscheinlich nachholen müssen wenn nichts eingetragen ist.
Der nächste Schritt wäre dann, das Tier chippen zu lassen und bei TASSO zu melden, nur für alle Fälle. Am besten meldest du ihn dann auch gleich bei der Stadt an. Dann kann er nicht einfach wieder "verschwinden", sollten es sich die Vorbesitzer doch anders überlegen.
Zu deiner Frage: Das Besitzverhältnis wird nicht direkt über den Vertrag geregelt, dieser legt eher die Bedingungen für den Kauf/Verkauf fest. Entscheidend ist, dass du die Papiere des Hundes hast und er auf niemand anderen gemeldet ist. Aber selbst dann wäre es einfach sicherer, einen Vertrag zu haben. Hast du den Hund denn schon bezahlt? Der Vertrag ist schließlich auch eine Art Quittung, da normaler Weise festgehalten ist, dass der Hund mit Unterschrift bezahlt und übergeben wurde. Sonst stehen morgen vielleicht ein paar Leute vor deiner Türe und wollen Geld von dir...
Liebe Grüße