Das Bild ist leider nicht dazu geeignet um den Zustand des Pferdes beurteilen zu können, da bräuchte man eins von der Seite wo das Pferd auf geraden Untergrund steht.
Die Hufe sehen tatsächlich zu lang aus, das kann aber auch täuschen.
Wenn das Pferd hustet sollte das abgeklärt werden, sprich deinen Nachbarn einfach höflich auf deine Beobachtung an. Es gibt Pferde die chronische Atemerkrankungen haben und dann dauerhaft husten oder laut atmen aber das kann man so natürlich nicht beurteilen.
Das ein Pferd dreckig ist macht prinzipiell nichts, mein Pferd wirft sich nach dem Putzen sofort wieder ins nächste Dreckloch, riecht dadurch auch nicht immer so toll und schafft es auch sich in 24 Stunden die Mähne zu verknoten

Auch Robusthaltung (24/7 draußen) ist nichts dramatisches, eher im Gegenteil, das ist was Gutes und falls das Pferd tatsächlich eine Lungenkrankheit hat wäre das sogar optimal. Der Tierschutz schreibt allerdings einen Unterstand oder Wetterschutz vor, das sollte also vorhanden sein.
Mit Hausfriedensbruch ist gemeint das du die Koppel nicht einfach betreten darfst, das fällt tatsächlich unter Hausfriedensbruch auch wenn man nur gute Absichten hat.
Wie gesagt, sprich am besten einfach mal mit deinem Nachbarn, da klärt sich vielleicht vieles.