Hallo und willkommen in Forum!
So eine Entscheidung ist nicht einfach, gerade wenn es der erste Hund ist und ein Baby im Haushalt lebt.
Zunächst würde ich bei einem kleinen Kind keinen sehr kleinen Hund nehmen. Ich bin selber Mutter ... So kleine Kinderhändchen können manches mal ordentlich tollpatschig sein und solch sehr kleine Hunde wie der Chi sind da nicht geeignet. Wenn der Hund ein wenig größer ist kann er den ein oder anderen Knuff schon mal besser wegstecken

. Abgesehen davon bin ich der Meinung, dass größere Hunde einfach auch "nervenstärker" sind und das ist bei Kindern im Haus absolut notwendig. Deshalb muß es nun nicht gleich eine Dogge werden, aber eben auch keine dieser absoluten Zwergenrassen.
Alleine bleiben sollte jeder Hund lernen. Man geht mal zum Arzt, zum Einkaufen, auf irgendwelche Veranstaltungen etc., immer kann man den Hund (egal wie groß) nicht mitnehmen und deshalb ist es wichtig, dass er von Anfang an in kleinen Schritten lernt, alleine zu bleiben. Evtl. möchtest Du ja auch irgendwann wieder arbeiten gehen; so einen Hund schafft man sich ja für die nächsten Jahre an ...
Rausgehen muß man mit jedem Hund, eine Stunde am Tag ist da nicht genug.

Der Hund muß auch raus wenn es regnet oder schneit und auch wenn Du oder Deine Tochter - evtl. auch mal ihr beide gleichzeitig - krank seit. Außerdem sollte man mit jedem Hund "Kopfarbeit" machen. Also so mit einmal am Tag für ein Stündchen rausgehen ist es nicht getan; auch nicht bei einem kleinen Hund. :angel:
Hundesport finde ich jetzt nicht unbedingt notwenig, vorausgesetzt man lastet den Hund auch so aus und er hat genug Kontakt zu Artgenossen. Eine gute Hundeschule würde ich einem Anfänger auf jeden Fall empfehlen ... Das ist meine Meinung, andere sehen das sicherlich anders. :eusa_shhh:
Ein Welpe und ein kleines Kind können ein tolles Gespann sein; es ist aber auch sehr anstrengend ... Du holst Dir mit einem Welpen für die nächsten Monate ein zweites Baby ins Haus. Da ist ein erwachsener Hund, der Kinder schon kennt und auch schon einiges an Erziehung mitbekommen hat, vielleicht die bessere Wahl. Aber auch das ist meine persönliche Meinung. Beide Varianten haben Vor- und Nachteile.
Wenn Du keinen Wert auf "Rasse" legst, würde ich einen Hund aus dem TH nehmen. Nicht alle Tiere dort sind "verhaltensgestört". Meist können sie nichts für ihre Situation (Scheidungen, Umzug, Allergie, keine Lust mehr etc. sind auch und meistens die Gründe dafür, dass ein Tier abgegeben wird:|). Die Mitarbeiter im TH kennen die Hunde meistens sehr gut und können Euch ein Tier empfehlen, das zu Euch paßt. Meistens ist es mit einmal "Umschauen" im TH nicht getan; man sollte immer mal wieder gucken, auch einmal in ein anderes TH fahren oder die diversen Hompages der TH im Netz durchstöbern.
Wenn Ihr einen Rassehund vom Züchter haben wollt, dann guckt bitte, dass es auch wirklich ein Züchter ist. Es gibt hier so viele schwarze Schafe, s. g. Vermehrer, die wahllos Hundewelpen "produzieren" um schnell ein paar Euro zu verdienen. Man spart bei der Anschaffung zwar Geld, dieses trägt man aber in den meisten Fällen relativ schnell zum TA. Das Risiko, hier einen verhaltensauffälligen Hund zu bekommen ist sehr viel höher, als wenn ihr einen aus dem TH nehmt ... Außerdem sollte man solche "Massenvermehrer" nicht unterstützen. Woran Du einen guten Züchter erkennst, dazu findest Du hier einige Infos im Forum.
Die Sache mit dem Zaun finde ich jetzt nicht so dramatisch. Klar ist es schöner, wenn der Hund auch mal im Garten rumtoben kann aber so einen Zaun kann man ja immer noch nachrüsten. Ich würde ein eingezäuntes Grundstück jetzt nicht als Voraussetzung zur Hundeanschaffung sehen ...
Zur Frage, welche Rasse, kann ich Dir keine Empfehlung geben. Das hat so viel mit dem persönlichen Geschmack zu tun und ich selbst tendiere sowieso eher zu einem Mischling. Ich würde eben schauen, dass es kein Hund ist, der Jagdtrieb hat. Hier mal ein Link
http://www.partner-hund.de/info-rat/hunderassen/kleine-hunde.html, vielleicht findest Du da was "passendes".
Sorry für den langen Text, aber so ein paar Dinge sollten eben vor der Anschaffung bedacht werden; schließlich holt Ihr Euch ein neues Familienmitglied für die nächsten - vielleicht - 14 Jahre ins Haus.
LG Ida